**Bài tập Tổ hợp Lặp**
**1. Mở đầu**
Trong toán học, tổ hợp lặp là một lĩnh vực chuyên nghiên cứu cách sắp xếp các phần tử từ một tập hợp sao cho các phần tử đó có thể lặp lại. Khái niệm này có nhiều ứng dụng trong cuộc sống thực, chẳng hạn như đếm số lượng tổ hợp khóa có thể có hoặc tính xác suất của các kết quả trong trò chơi.
**2. Định nghĩa**
Cho một tập hợp A gồm n phần tử, số tổ hợp lặp k phần tử từ tập hợp A được ký hiệu là A(n, k). Nó được xác định như sau:
```
A(n, k) = n^k
```
**3. Giải thích**
Trong một tổ hợp lặp, các phần tử có thể được lặp lại bất kỳ số lần nào. Do đó, có n cách chọn phần tử đầu tiên, n cách chọn phần tử thứ hai, ..., và n cách chọn phần tử thứ k. Vì các cách chọn này là độc lập, nên số cách chọn tổng thể là n^k.
**4. Ví dụ**
Giả sử chúng ta có tập hợp A = {1, 2, 3}. Hãy tính số tổ hợp lặp 2 phần tử từ tập hợp này:
```
A(3, 2) = 3^2 = 9
```
Điều này có nghĩa là có 9 tổ hợp lặp 2 phần tử từ tập hợp A:
```
{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 3}, {1, 1, 1}, {1, 1, 2}, {1, 1, 3}
```
**5. Dấu ngoặc đơn trong ký hiệu**
Trong ký hiệu tổ hợp lặp, dấu ngoặc đơn được sử dụng để phân biệt với tổ hợp thông thường, trong đó các phần tử không được lặp lại. Ví dụ:
* A(3, 2) = 9 là số tổ hợp lặp 2 phần tử từ tập hợp {1, 2, 3}.
* C(3, 2) = 3 là số tổ hợp 2 phần tử từ tập hợp {1, 2, 3}.
**6. Ứng dụng**
Bài tập tổ hợp lặp có nhiều ứng dụng ngoài toán học, chẳng hạn như:
* Tính toán số lượng khóa có thể có của một ổ khóa có k chốt.
* Tính xác suất của việc nhận được một số tay bài cụ thể trong một trò chơi bài.
* Lập kế hoạch thí nghiệm khoa học với các biến lặp lại.
**7. Các tính chất của Tổ hợp Lặp**
Một số tính chất quan trọng của tổ hợp lặp bao gồm:
* A(n, 0) = 1 cho mọi n.
* A(n, 1) = n cho mọi n.
* A(n, k) = n * A(n-1, k-1) cho mọi n và k.
* A(n, n) = n^n.
* A(n, k) = A(n, n-k).
**8. Bài tập**
Thực hành các bài tập tổ hợp lặp sau đây:
* Tính số tổ hợp lặp 3 phần tử từ tập hợp {a, b, c, d}.
* Tính xác suất của việc nhận được ít nhất một con át khi rút 5 lá bài từ bộ bài tây 52 lá.
* Một ủy ban gồm 5 người được thành lập từ một nhóm 10 người. Tính số cách thành lập ủy ban nếu mỗi người có thể phục vụ nhiều hơn một nhiệm kỳ.
**9. Kết luận**
Tổ hợp lặp là một khái niệm toán học quan trọng với nhiều ứng dụng trong thực tế. Hiểu được các nguyên tắc cơ bản của tổ hợp lặp sẽ giúp bạn giải quyết các vấn đề liên quan đến các phần tử lặp lại một cách hiệu quả.